Nº 17 - Mayo/Junio 1999

LA MEDIDA DE LA MORTALIDAD EN UN COLECTIVO DE ACTIVOS  OCUPADOS

Amancio Betzuen.

Actuario.

1. INTRODUCCION.- El objetivo de este dossier es doble. Por una parte, el de mostrar que las tablas de mortalidad que se utilizan actualmente en el mercado, no se adecuan al colectivo para  el que se aplica y por otra, la de presentar una medida de la mortalidad de un tipo de colectivo muy extendido en la práctica como es el colectivo de activos y más concretamente el de la población ocupada. Tal es el caso de los colectivos para los que se aplican planes de pensiones, de previsión, algunas mutualidades, en concreto aquellas que contemplan productos similares a los planes de pensiones.

Inicialmente quisiéramos hacer un poco de historia, de como nació nuestra preocupación por la medida de la mortalidad para este tipo de colectivos. A principios de los años 90, existía cierta preocupación entre los actuarios por la magnitud asignada al tipo de interés de cálculo del valor actual actuarial de las prestaciones futuras, del coste normal (o cuota de aportación), de las provisiones matemáticas (o en su caso de los derechos consolidados) , etc. Pero no estaban  tan preocupados por la medida de la mortalidad. [i]

Sin embargo, por esta época algunos actuarios, muy pocos por cierto, estabamos observando que el número de fallecidos a cada edad alcanzada, que estimábamos hacia el futuro, para el cálculo del coste de las pensiones, no se ajustaba a lo que la experiencia mostraba. Es evidente que cuando esta diferencia es pequeña, la desviación, a menudo, no se percibe. Pero nos llamó poderosamente la atención la importante desviación que se producía entre lo que se obtenía a modo de estimación de aplicar unas tablas de mortalidad de uso frecuente en la práctica como son las GRM/F y la mortalidad que realmente se iba produciendo.

Como es sabido una desviación importante en esta estimación, en este caso una sobreestimación del número de fallecidos, conlleva que estamos aceptando que un menor número de activos  alcanza la jubilación y por consiguiente un menor coste estimado por pago de pensiones de jubilación. Con las estimaciones realizadas de aplicar una tabla de mortalidad con tantos de mortalidad superiores a las reales construiremos un fondo (provisiones) insuficiente para poder garantizar el pago de dichas pensiones. Con lo cual no se podría hacer frente  al pago de todos los que realmente alcancen la edad normal de jubilación.

Como decimos, este contraste ya fue realizado, por nosotros, a primeros de los años 90. Por esta razón nos comprometimos a realizar, digamos, un avance de una tabla de mortalidad de una población activa concreta. De los resultados de nuestra investigación, al principio mas bien incompleta, se dedujo una más que importante desviación en la medida de los tantos de mortalidad a cada edad alcanzada.

Ya por aquella época el colectivo utilizado para el contraste era importante, pues contenía más de 72.500 partícipes hombres y casi 16.000 partícipes mujeres. Estos tamaños del colectivo distribuidos en el intervalo de edades [20,65] nos proporciona un número de elementos para cada edad bastante significativo. Como se puede comprender para la mayoría del tramo de edades el tamaño era suficiente para tomar la frecuencia de fallecimiento como representativa.

Después de haber obtenido las frecuencias brutas de fallecimiento a partir de estos colectivos (hemos analizado por separado el colectivo de hombres y mujeres), de una manera elemental, esto es, por simple cociente entre el número de fallecidos y el número de partícipes existente para cada misma edad alcanzada, en la fecha de observación (Año 1991), se elabora, a modo de avance, una tabla provisional de mortalidad del colectivo objeto de observación. Dicha tabla fue utilizada, de forma paralela, a las tablas que habitualmente se venían aplicando en la práctica actuarial, en muchos casos las GRM/F-80. La experiencia que fuimos obteniendo no tiene desperdicio.

-     Los resultados que para cada año futuro fuimos obteniendo, del colectivo bajo observación no presentaba duda alguna. Las tablas provisionales por nosotros construidas pronosticaron un número total de fallecidos, para el colectivo de activos en su conjunto (pero separado por sexos), que al compararlos con los reales, que medido en términos de desviación relativa daba un resultado inferior al 4%, mientras que las estimaciones realizadas con la tabla GRM/F-80 superaba el 20%.

-     Se ensaya una aplicación de estas tablas provisionales para otros colectivos de partícipes que en aquellas épocas eran objeto de cálculos actuariales relacionados con planes de previsión. La respuesta no nos ofreció duda alguna, pues a pesar de tratarse de otros colectivos diferentes del que hemos extraído la información para la elaboración de la citada tabla, las desviaciones se encontraron en casi todos ellos, ligeramente por encima de los márgenes que hemos apuntado anteriormente.

No conformes con lo anterior, este tipo de ensayo lo fuimos aplicando en los años venideros, obteniéndose análogos resultados y esta fue la razón que impulsa nuestra intención de construir unas tablas de mortalidad propias para este tipo de colectivos.

MARCO DE LAS OBSERVACIONES.-        En primer lugar se trata de establecer en qué fechas se va a proceder a la observación. A la vista de la experiencia que íbamos obteniendo de nuestros colectivos pensamos que  un  periodo  de  observaciones  que  transcurriera  desde  el   1-I-1991 al 31-XII-1995 representaba un espacio amplio de tiempo como para utilizar datos suficientes a cada edad alcanzada. Esto se cumplía en el colectivo de hombres pues el número de fallecimientos fue en todas las edades superior a 3 salvo en los primeros años.  (véase tabla Nº 3).

No así en el colectivo de mujeres en el que fue necesario recurrir a grupos de partícipes reunidos de cinco en cinco años.

En segundo lugar se trata de establecer la amplitud del periodo de observaciones es una decisión que la toma el actuario en base a su experiencia pero normalmente oscila entre 3 y 5 años y en este caso nos decidimos, como ya quedó indicado por un periodo de observación de 5 años. Pensamos que no es aconsejable reducir la amplitud del periodo de observación pues se reducirá notablemente el suavizado natural que se producirá en caso contrario, pero tampoco es conveniente aumentar la amplitud del mismo, pues nos encontráramos agrupando comportamientos del colectivo de fechas bastante distantes.

Establecido la amplitud del periodo de observación y las fechas entre las cuales situáramos dicho periodo, el siguiente paso fue el de elegir el rango de edades que incluiríamos en la observación. Por razones obvias este fue el comprendido entre los 20 y los 65 años. En principio se incluyó los 65 años dado que disponíamos de individuos con 65 años en activo. disponíamos también de trabajadores entre los 17 y 20 años, pero el número de partícipes era claramente insuficiente (salvo que los agrupáramos en grupos de edades de 3 \ 5 años).

CENSO POBLACIONAL.- Inicialmente la base de datos del colectivo objeto de estudio no estaba pensado para llevar a cabo la elaboración de una tabla de mortalidad sino más bien para la realización de cálculos actuariales relacionados con planes de pensiones.

No obstante se trataba de una base de datos bastante amplia en la que ya se incluía cierta información que debidamente tratada se podía aprovechar como censo. Posteriormente las bases de datos que se solicitaban a las entidades con  planes de pensiones ya llevaban incorporado un censo para el seguimiento de la mortalidad y otros decrementos por otras causas como invalidez, rotación, etc.

Básicamente el censo de la población que se requirió a efectos de este trabajo contenía datos referidos a:

FN: fecha de nacimiento del partícipe

FA: fecha de alta del partícipe

Se controla si el alta se produce más de una vez.

FB: fecha de baja del partícipe

Obviamente este registro permanece vacío si no se ha producido la baja para el periodo de referencia.

S: sexo

CB: causa de baja

Se especifica la causa de baja: fallecimiento, invalidez, jubilación, rotación, excedencia, etc.

EC: estado civil

MATERIAL DE OBSERVACION.- El material de seguimiento inicial que fue citado en el primer epígrafe para justificar nuestra iniciativa, obviamente fue incluido como un colectivo bajo observación para el citado periodo, con el rango de edades establecido y para las fechas de calendario fijadas.

Se acudió a la observación de otros colectivos que por nuestra experiencia consideramos eran homogéneos. En este trabajo se consideran colectivos homogéneos aquellos cuya actividad (la de los trabajadores afectos al plan) es similar y cuya proporción de fallecimientos a nivel global es también similar[ii].

El tamaño del colectivo como un todo (agrupados los diferentes colectivos) representa el número de partícipes  totales que se aportan  a la observación durante el periodo de observación. Este tamaño para cada año de calendario se muestra en la Tabla Nº 1. En dicha tabla se presentan de forma  separada por año de calendario con el objeto de poder apreciar la evolución del tamaño de los colectivos con el transcurso de los años. En una última columna se muestra el tamaño total del colectivo (número de años=individuos en observación a lo largo de todo el periodo de observación).

En la Tabla Nº 2  se muestra el tamaño, en este caso, de cada colectivo C₁, C₂,..., etc. (número de individuos bajo observación). Como se puede apreciar hemos elegido colectivos de tamaños claramente diferentes. En esta elección se dio más importancia a la validez de los datos aportados y a la homogeneidad de los mismos que al tamaño del colectivo. Por esta razón se dejaron algunos colectivos de partícipes al margen de este estudio. En la última columna se muestra el tamaño total del colectivo.

Por otra parte hemos anotado el número real de fallecidos en el transcurso del periodo de observación. Agrupados por colectivos  C₁, C₂,..., etc. los resultados se presentan en la tabla Nº 3. 

Estos mismos datos, tanto del número de partícipes en observación como del número de fallecidos, fueron preparados de forma desagregada, esto es, por edades individuales tal y como se muestran en la tabla siguiente:

 Nº DE FALLECIDOS A CADA EDAD A LO LARGO DEL PERÍODO DE OBSERVACIÓN (91-95)

Una primera aproximación nos permite obtener las frecuencias relativas brutas, por cociente entre el número de fallecidos reales a cada edad alcanzada entre el número de partícipes en observación a la misma edad alcanzada.

TIEMPO DE EXPOSICION AL RIESGO.- Con el objeto de obtener una mayor precisión se ha trabajado con unidades de riesgo más bien que con el número de partícipes en riesgo. Esto significa que no se consideró el número de partícipes existentes en una cierta fecha sino el tiempo con el que se contribuye al riesgo de fallecimiento. Esto es, el tiempo de exposición real al riesgo de fallecimiento.

Para ello se considera, en cada caso, el colectivo abierto, en el que se producen altas y bajas. Con este planteamiento el colectivo total aparece constituído por varios subcolectivos, a saber:

- El colectivo de «iniciantes»: Es el conjunto de partícipes que en el momento de comenzar el periodo de observación, esto es, el 1-I-1991 ya estaban de alta como partícipes.

- El colectivo de «finalizantes»: Es el conjunto de partícipes que en el momento de terminar el periodo de observación, esto es, el 31-XII-1995 permanecían de alta como partícipes.

- El colectivo de altas: Lo constituyen los partícipes que entran en observación una vez que el periodo de observación ha comenzado.

- El colectivo de bajas: Lo constituyen los partícipes que salen del periodo de observación antes de que finalice dicho periodo. Este colectivo se subdivide, a su vez, en subcolectivos.

- El colectivo de fallecidos: Lo destacamos aquí por cuanto que constituye el numerador de la frecuencia relativa bruta que se busca.

La baja se puede producir tanto por alcanzar la edad de jubilación, (en principio de jubilación normal), por invalidar, por salir del colectivo, como por fallecer.

Por supuesto el alta se produce entre el 1-I-91 y el 31-XII-95. Al igual que la baja. En los demás casos no entran en consideración (observación).

Dado que esta forma de proceder da lugar a periodos no enteros (un periodo entero coincide en este trabajo con el periodo anual) obliga a incorporar un criterio válido para atribuir fracciones de año (o de unidad de riesgo). Para ello se eligió un criterio para fijar la edad alcanzada y otro para la asignación fraccionada de la exposición al riesgo.

CRITERIO DE ASIGNACION DEL PERIODO DE RIESGO INTERANUAL.- Básicamente se utilizan tres criterios, desde el punto de vista práctico, para averiguar fracciones de periodo de riesgo anual, estos son:

- fallecimiento uniforme

- Balducci

- tanto instantáneo uniforme           

En este trabajo hemos tomado el criterio de Balducci [i] por su sencillez aunque racionalmente no parece fácil de comprender. Básicamente el criterio de distribución de Balducci consiste en lo siguiente:

Se trata de considerar como criterio de distribución la siguiente función:

Con el objeto de averiguar el valor de            en sus valores extremos procedemos de la siguiente manera:

de donde                 

y por lo tanto                                        

A partir de la condición anterior se obtiene que:

Balducci no dio ninguna explicación convincente a este comportamiento de la función  l_x+t, pues se puede llegar a comprobar que el tanto instantáneo de fallecimiento es, decreciente.

Esta «anomalía» de comportamiento no es, en principio, aceptable desde el punto de vista actuarial, pues como se sabe la intensidad de la mortalidad, en condiciones normales, va creciendo conforme aumenta la edad de la persona, salvo en casos extremos como sucede en los primeros meses de la niñez.

Pero este no es nuestro caso dado que tratamos un colectivo de trabajadores activos y por consiguiente con edades, normalmente, comprendidas entre los 20 y los 65 años.

Un caso más general que el tanto             lo constituye la probabilidad                   que tiene por expresión:

el cual tiene sentido cuando  1-h+t<=1

También se observa que la expresión (1) se corresponde al inverso de una línea recta (ya que ésta se encuentra en el denominador de la expresión). Este comportamiento hiperbólico [ii] ) es cuanto menos chocante y como decimos no concuerda con la lógica actuarial que atribuye a la función de supervivencia un comportamiento decreciente a medida que crece la edad.

Lo anterior se acepta dentro del periodo anual, por cuanto que simplifica enormemente algunos cálculos prácticos, y sobre todo en lo concerniente a la determinación del periodo de exposición al riesgo para intervalos inferiores al año. Fuera de los periodos interanuales no es de aplicación.

Aplicando esta metodología se obtienen los valores que se presentan a continuación.

Si ahora comparamos esta tabla con la presentada en la Tabla Nº 2 podemos apreciar fácilmente la diferencia de unidades de riesgo entre una y otra. La explicación de que básicamente en la mayoría de los colectivos el número es inferior en la Tabla Nº 5, la encontramos en la reducción del colectivo durante el periodo de observación y la distancia de las altas y bajas bien hacia el principio de cada año de observación o hacia el final.

Teniendo en cuenta la hipótesis de Balducci, en cuanto a la distribución de la exposición al riesgo para periodos interanuales se obtiene para la frecuencia relativa de mortalidad la siguiente expresión:

            

cuya expresión final indica la relación entre el número de fallecidos reales observados entre las edades actuariales  x  y  x+1 y el valor de la exposición al riesgo de fallecimiento correspondiente a la misma edad.

En la expresión anterior tenemos:

q_x:  frecuencia relativa bruta observada para la edad actuarial x

F_x   :  número de fallecidos reales de edad actuarial x

I_x    :  número de partícipes iniciantes

A_x : número de altas que se producen de edad actuarial x y que contribuyen a la exposición al riesgo durante esa edad

Bx :  número de bajas que se producen de edad actuarial x , durante el periodo de exposición. Las bajas se producen tanto por rotación como por invalidez. Según este criterio las bajas por fallecimiento no se computan a efectos de exposición al riesgo.

ASIGNACION DEL RANGO DE LA EDAD DE FALLECIMIENTO.- En este epígrafe nos referiremos al evento de fallecimiento por ser el más significativo ya que nos estamos refiriendo a la medida de la mortalidad. El procedimiento a seguir para la asignación del rango en los demás eventos es análogo, en cada caso se asignará la edad correspondiente al alta, baja, invalidez, etc.

Una vez que se ha definido el periodo de observación, las fechas de calendario al que se limita el estudio, los criterios de distribución del intervalo de exposición al riesgo, etc.  se requiere establecer el rango de la  edad de referencia (de la edad de la persona), esto es, el criterio de asignación de la edad del partícipe a efectos de este estudio.

Se trata de establecer el intervalo de la edad x o quizás dicho de otra manera, a partir de qué edad teórica alcanzada y hasta qué próxima edad teórica se le cataloga al partícipe como de edad x. Existen diferentes criterios de asignación y diferentes métodos para establecer el rango o intervalo de la edad x.

Para la asignación de la edad, por ejemplo, de fallecimiento de un partícipe, podemos escribir: 

f_x : x = FF – FN

que nos proporciona un valor que se asigna a  x  como diferencia de la fecha de fallecimiento y la fecha de nacimiento.

Análogamente procedemos en el caso de las altas, bajas, iniciantes, etc. Hay que tener presente que en el caso de los excedentes nos podemos encontrar con más de un valor.

Este valor así asignado es teórico y por lo tanto de poca utilidad para nosotros, puesto que los valores de las x están asignados a números enteros positivos hasta el valor w. Por esta razón y ya que disponemos de información suficiente, la obtenida a través del censo elaborado para este trabajo, elegimos un método para la asignación de la edad. Este método que hemos elegido es el de la edad actuarial por ser muy popular entre nosotros y que como sabemos consiste en atribuir como edad, por ejemplo en este caso que nos ocupa,  la de fallecimiento, la edad entera más próxima al cumpleaños.

De esta manera el rango de la edad se le asocia a la edad actuarial, esto es:   f_x : x = EA

Por consiguiente en este trabajo se le atribuye la edad x a aquel partícipe cuya edad real se encuentre en  [x-1/2,x+1/2[ lo cual se suele indicar por:  f_x [x-1/2,x+1/2]

Es evidente que si se elige el criterio de la edad actuarial para asignar el rango de la edad del partícipe en el caso del evento de fallecimiento este criterio debe prevalecer para los demás eventos.

OBTENCION DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS BRUTAS.- Con todo el trabajo elaborado hasta este punto procedemos a la obtención de las frecuencias relativas utilizando la expresión presentada en (2). Estos valores inicialmente así obtenidos representan como sabemos valores brutos cuya evolución para sucesivos valores de la edad de un partícipe se representa en el siguiente gráfico.

Las irregularidades que presenta esta línea son evidentes por tratarse de valores brutos. Con estos primeros datos hicimos una primera simulación. Con ello constatamos la clara diferencia que se produce en los resultados al aplicar estos valores obtenidos por nosotros y los que se obtienen al aplicar las tablas GRM-80, por poner un ejemplo de contraste.

Por lo tanto, no tuvimos duda en seguir adelante y finalizar el proceso de graduación. Antes hemos hecho algunas «pruebas» introduciendo algún otro colectivo y como era de suponer se producía un «suavizado natural» en las frecuencias relativas brutas. No obstante la base de datos de estos colectivos no tenían el grado de depuración y comparación del grado de homogeneidad que en base a nuestra experiencia en estos temas, se exigió a los utilizados para este trabajo. Por consiguiente se pospusieron para un trabajo posterior o para un seguimiento continuado de estas tablas hacia el futuro.

Como decimos hemos tomado los valores relativos así obtenidos los cuales se presentan a continuación (Véase TABLA Nº 6) . El paso siguiente consistió en la elección del método de ajuste de estos valores brutos.

COLECTIVO DE HOMBRES FRECUENCIAS BRUTAS RELATIVAS DE FALLECIMIENTO A CADA EDAD ALCANZADA

ELECCION DE LA FORMULA DE AJUSTE.- Existen muchas formas de proceder a un ajuste o a un suavizado de un conjunto de datos distribuidos en la forma en la que nosotros los teníamos, esto es, para cada edad de los partícipes, entre los 20 y los 65 años.

Dado que se trata de un intervalo no muy extenso se podrían utilizar un montón de fórmulas matemáticas. Incluso la propia fórmula de Makeham. Con esta fórmula hemos presentado una comunicación en el Seminario sobre tablas de mortalidad. Celebrado en Edimburgo en el año 1997.

Pero para este caso hemos realizado una «aproximación» utilizando una nueva «herramienta» matemática todavía muy poco utilizada en este campo pero que tiene significativas aplicaciones en otros campos como la física, obviamente la estadística, la ingeniería, la mecánica, etc. Es más, podemos decir que la nueva línea, mucho más aerodinámica de los coches y de los aviones se está consiguiendo a partir de simulaciones mediante funciones splines.

Evidentemente por lo que a nuestra literatura se refiere no tenemos experiencia en este campo, pero nos parece que podemos hacer un esfuerzo por aplicar esta metodología y comprobar los resultados que nos proporciona con los resultados de la experiencia, de la experiencia de cada uno de nosotros.

Los resultados que hemos conseguido son francamente excelentes. Es cierto que este herramienta es tan «potente» matematico-estadísticamente, que se podría lograr un ajuste (suavizado) tan «fuerte» como nosotros quisiéramos. Pero nuestra experiencia nos muestra que en el límite la curva ajustada es la propia curva bruta. Por lo tanto esto no tendría utilidad práctica y por consiguiente no nos decantaríamos por esta vía. Pero hemos pretendido lograr una curva bastante uniforme que se aproximara a los datos brutos pero que los valores finales pudieran considerarse como más uniformes y por lo tanto sin los «saltos» bruscos que siempre aparecen en los valores brutos.

FRECUENCIAS TEÓRICAS DE FALLECIMIENTO A CADA EDAD

Tabla nº 7

A continuación presentamos brevemente la metodología de las funciones splines.

Supongamos que tenemos unos valores observados inicialmente, como es nuestro caso, los q_x^*  para valores de x en el intervalo de edades [20,65]

                                                                            20=x₀ < x₁ < ... < x_n < x_n+1=65

y que elegimos r nudos del intervalo              k₁ , k₂, ..., k_r

Ahora elegimos un cubic spline del tipo:

                                                               r

                                                        q_x^(j) = q_x⁽⁰⁾ +  E  C_m+j (x-k_j)^m

                                                              j=1

donde

                                                    m

                                                        q_x⁽⁰⁾ =  E  C_j x^j

                                                    j=0

m: representa el grado de la función spline.

Incorporando además las restricciones siguientes: 

                                                     qx_j^(j-1) = qx_j^(j) 

                                                     q'x_j^(j-1) = q'x_j^(j) 

                                                     q"x_j^(j-1) = q"x_j^(j)

Las restricciones anteriores indican las condiciones que le exigimos a las funciones splines en los puntos de unión (en los nudos), que son igual ordenada, igual derivada primera e igual derivada segunda. Con esto se garantiza la uniformidad de las curvas en los puntos de unión de las mismas.

Los parámetros de las funciones splines se pueden obtener mediante mínimos cuadrados, por ejemplo optimizando la siguiente expresión: 

             k₁                          k₂                            x_n+1

                 F =  E   w_x (q_x^* - q_x⁽⁰⁾)²  +  E  w_x (q_x^* - q_x⁽¹⁾)² +...+  E   w_x (q_x^* - q_x^(r))² +

           x=x₀                     x=k₁+1                       x=k_r+1

Después de realizar un número importante de simulaciones se lograron obtener los siguientes valores que los denominaremos frecuencias teóricas, que tomadas hacia el futuro constituyen nuestras probabilidades para estimar la probabilidad de fallecimiento a cada edad actuarial alcanzada.

A continuación se presenta mediante un gráfico la comparación entre los valores de las frecuencias relativas brutas y las teóricas ahora obtenidas. A simple vista se puede apreciar la precisa aproximación facilitada por las funciones splines.